算数の文章題のあれこれ : 2014年08月

2014年08月30日12:00

流水算【比の利用】

カテゴリ: 算数; 速さ

【問】
　ある船が川を上るのに3時間かかり、下るのに2時間かかります。
　川の流れの速さが時速2kmの時、川の長さは何kmですか。

【解】
　時間だけしか分からないときは、比の利用を考えます。

　速さの比は時間の比の逆比なので
　上りの速さ：下りの速さ＝2：3

　流れの速さの比は
　　（3－2）÷2＝0.5
　この0.5は、実際には時速2kmなので
　　2÷0.5＝4km　←比の1あたりの時速。この数を比にかければ、もとの数になるということ。
　
　これより上りの速さは
　　2×4＝8　　←下りの速さは、3×4＝12km
　よって川の長さは
　　8×3＝24km

　
　

2014年08月28日12:00

流水算【川の流れの速さ】

カテゴリ: 算数; 流水算

【問】
　上流から下流まで15kmある川を船で往復します。
　上りには5時間かかり、下りには3時間かかりました。
　流れの速さが一定であるとき、この時の川の流れの速さは
　時速何kmですか。

【解】
　流れの速さを求めたいので
　（下りの速さ－上りの速さ）÷2

　上りの速さ：15÷5＝3
　下りの速さ：15÷3＝5

　よって川の流れの速さは
　　（5－3）÷2 ＝1
　時速1kmとなる。

　ちなみに静水時の速さは
　　（3＋5）÷2＝4
　　時速4kmとなる。

2014年08月27日12:00

流水算【プロローグ】

カテゴリ: 算数; 流水算

船で川を上ったり、下ったりするとき
船の速度は川の流れによって影響を受けます。

この川の流れをふまえて
速度を考える問題を流水算といいます。

速さが何らかの要因によって影響を受ける問題は
流水算の考え方を利用します。

川の流れのほかに
エスカレーターを上り下りする問題もよく目にします。

流水算の基本は、速さを足し算引き算するだけ。

【例】
川の流れの速さが時速2kmの川を、時速20kmで走る船が上るときの
船の速さは？

上るときは当然川の流れに逆らうので、速度は川の流れの分だけ遅くなります。
　20－2＝18km

下るときの速さは川の流れの分だけ早くなるので
　20＋2＝22km

つまり、川の流れの速さを足し算引き算するだけ。

ちなみに、船の速さのことを静水時の速さと呼びます。（ここでは時速20kmが静水時の速さ）

まとめです
　上りの速さ＝静水時の速さ－流れの速さ
　下りの速さ＝静水時の速さ＋流れの速さ

これより
　静水時の速さ＝（上りの速さ＋下りの速さ）÷2
　流れの速さ＝（下りの速さ－上りの速さ）÷2

静水時の速さと流れの速さの求め方が
よく使われる考え方なので
しっかりと理解しておく必要があります。

2014年08月25日12:00

仕事算【利用時間】

カテゴリ: 算数; 仕事算

【問】
　５人で電車に乗って旅行に出かけました。
　目的地まで1時間30分かかりますが、座席が3つしか空いていなかったため
　交代しながら座ることにしました。
　全員が同じ時間だけ座るとすると、目的につくまでに
　１人が座っていた時間は何分ですか。

【解】
　
　まず１つの座席に座れる時間を考えます。　　
　電車に乗っている時間が、座れる時間なので
　　１時間30分＝90分

　座席は全部で3つあるので
　　90×3＝270分

　つまり5人が座席を利用できる時間は
　270分ということになります。

　全員が同じ時間座るので
　　270÷5＝54（分）　　←平均を求めているだけ

電車の座席だけでなく、テニスコートの利用時間などでも
同じ考え方で解くことができます。

2014年08月23日12:00

仕事算【比の利用③】

カテゴリ: 算数; 仕事算

【問】
　Ａが１人ですると12日、Ｂが１人ですると8日、Ｃが１人ですると15日かかる仕事があります。
　この仕事を3人ですると何日かかりますか。

【解】
　働く人数が増えても考え方は同じ。
　まずは個人の仕事量を求める。

　Ａ：Ｂ：Ｃ＝1/12：1/8：1/15＝10：15：8　　　←通分して分子の比をとる
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　全体の仕事量は
　　10×12＝120

よって
　120÷（10+15+8）＝3.636・・・・・

　よってこの仕事を終えるのには
　4日かかる。　　　　　　　
　
　割り切れない場合は、小数点以下を切り上げる。
　計算ミスをしていないか確認する必要もあるが
　きれいに割りきれずに、１日分を足さなければならないといのは
　仕事算の問題ではよく見る形。
　

2014年08月20日12:00

仕事算【比の利用②】

カテゴリ: 算数; 仕事算

【問】
　Ａが１人ですると10日かかり、ＡとＢが２人ですると8日かかる仕事があります。

①この仕事をＢ１人ですると何日かかりますか。
②この仕事をＡ１人で始め、途中からＢと交代したところ、Ａが仕事を始めてから
　13日で終わりました。Ａが何日働きましたか。

【解】
①
まずは個人の仕事量と全体の仕事量を求める。

　Ａ：Ａ＋Ｂ＝1/10：1/8＝4：5　

これより全体の仕事量は
　4×10＝40

Ｂの仕事量は引き算で求める。
　5－4＝1　　　←（Ａ＋Ｂ）－Ａ

よって
　40÷1＝40（日）　　←日数＝全体の仕事量÷1日の仕事量

②
　Ａが13日間仕事をした場合、全体の仕事量は
　4×13＝52
　
　実際に全体の仕事量は40しかないので
　52－40＝12

　12だけ余分に仕事をしていることになる。
　つまりこの12の分Ｂが働いたということなので
　12÷（4－1）＝4　　←ＡとＢの労働量の差で割れば、Ｂの働いた日数が求められる。

　よってＢが2日働いたということなので、Ａの働いた日数は
　13－4＝9（日）
　

2014年08月18日12:00

仕事算【比の利用①】

カテゴリ: 算数; 仕事算

【問】
　Ａが1人ですると10日、Ｂが1人ですると15日かかる仕事があります。
　この仕事をＡとＢの２人ですると何日かかりますか。

【解】
　多くの仕事算は、個人（機械）の仕事量を求めることから始める。

ＡとＢの１日の仕事量の比は

　1/10：1/15＝3：2　　←全体の仕事量を仮に1として考える。全体の仕事量÷日数で1日の仕事量を求める。　

次に全体の仕事量を求める。
　全体の仕事量＝1日の仕事量×日数（時間）

これより
　3×10＝30　　←Ｂの仕事量を使い、2×15でもよい。ＡとＢのどちらを使っても答えは同じになる。

つまり30の仕事をＡとＢでするということなので
　30÷（3＋2）＝6日　　　　←日数＝全体の仕事量÷１日の仕事量

　仕事算は1日の仕事量と全体の仕事量を求めることで
　解放の糸口がつかめるはずです。

2014年08月16日12:00

仕事算【プロローグ】

カテゴリ: 算数; 仕事算

　1時間当たりの仕事量＝全体の仕事量÷仕事にかかる時間
　（全体の仕事量＝1時間当たりの仕事量×仕事にかかる時間）
　（仕事にかかる時間＝全体の仕事量÷1時間当たりの仕事量）

参考書に公式っぽく紹介されているものです。

仕事算の基本問題から

【例】
　ダンボール500個を1分間に10個ずつ片づけると
　何分で全て片づけられるか？

これが仕事算の基本で全て。

　500÷10＝50（分）　　←全体の仕事量÷1時間当たりの仕事量

これが理解できれば応用されても対応できます。

では少し応用

【例】　
　1分間に10個ずつ片づける機械があります。
　2時間では何個片づけられますか

これで応用レベル。
　2時間＝120分
なので
　10×120＝1200個　　←1時間当たりの仕事量×仕事にかかる時間

仕事算は、全体の仕事量、1時間当たりの仕事量を整理することが
解法の糸口になります。

2014年08月13日12:00

売買損益【利益から仕入れ値】

カテゴリ: 算数; 売買損益

【問】
ある品物の仕入れ値に3割の利益を見込んで定価をつけました。
夕方になっても売れないので2割引きで売ったところ
利益は40円になりました。
この品物の仕入れ値と定価はいくらですか。

【解】
仕入れ値の3割の利益を見込む⇔1.3倍する　←1+0.3
2割引きで売る⇔0.8倍する　←1－0.2
つまり仕入れ値を1.3倍し、さらに0.8倍して売ったということ。

仕入れ値を1とすると定価は　　←割合の考え方。もとの数は1として考える。
　1×1.3×0.8＝1.04
つまり0.04の分が利益ということになる。

0.04が40円にあたるので仕入れ値は
　40÷0.04＝1000円

定価は
　1000×1.3＝1300円

2014年08月11日12:00

人の前を通り過ぎる【通過算】

カテゴリ: 算数; 速さ

【問】
長さ200mの列車が駅に立っている人の前を通過するのに
20秒かかりました。
この列車の速さは時速何kmですか。

【解】
通過算の基本は
通過しているものの長さが道のりということ。
人のように幅の無いものを通過する問題では、
列車の長さを通過しているものの長さと考えます。

よって速さは
　200÷20＝10　←道のり÷時間＝速さ

時速を聞かれているので、
秒速から時速になおす。←答えを10としないこと。たまに見かけるひっかけ問題です。
　
10×3.6＝36　←10×60×60÷1000をまとめたもの。時速を秒速になおすときは3.6で割ればいい。

答え　時速36km