算数の文章題のあれこれ

基本的な算数の考え方を紹介しています。 中学受験だけでなく、公務員試験やSPI対策などにも役に立つ内容です。

2014年12月

食塩水問題【比と面積図の利用】


【問】
3%の食塩水が600gあります。
ここに8%の食塩水を何gか混ぜたところ
濃さが5%の食塩水ができました。
8%の食塩水を何g混ぜましたか。

【解】
面積図は次のようになります。


text4100

ここでのポイントは
黄色い長方形と青い長方形の縦の長さの比は
横の長さの比の逆比になるということです
(黄色い長方形と青い長方形の面積が等しいから)

黄色い長方形の縦の長さは
 5(%)-3(%)=2(%)

青い長方形の縦の長さは
 8(%)-5(%)=3%

よって縦の長さの比は
 黄色い長方形:青い長方形=2:3

これより横の長さの比は
 黄色い長方形:青い長方形=3:2 ←逆比になる

黄色い長方形の横の長さは600gなので
 
 3:2=600(g):□(g)
   □=400(g)

面積の等しい長方形の
横の長さと縦の長さが逆比になることは
水位の問題でよく利用されます。







面積図で解く【つるかめ算】

【問】
10円玉と100円玉があわせて9枚あります。
この合計金額が450円のとき
10円玉と100円玉はそれぞれ何枚ずつありますか。

【解】
『値段×枚数=合計』なので
面積図は次のようになります。

text4016

これをもとにして
『10円玉と100円玉があわせて9枚、合計450円』を
面積図で表します。

text3131


ここで9枚すべて100円玉だとすると 
合計金額は900円になります。

rect3937



赤い長方形と黒い長方形の面積の差は
 900-450=450(円)

text3992


これより
 450÷(100-10)=5  ←黄色い長方形の横の長さが10円玉の枚数になる。

よって10円玉が5枚
100円玉が4枚となります。







食塩水の問題【面積図で解く】

面積図を使って濃度の問題を解いてみます。

【問】
濃度の分からない食塩水200gに10%の食塩水300gを
混ぜたところ、8%の食塩水ができました。
何%の食塩水を混ぜましたか。

【解】
『濃度の分からない食塩水200gに10%の食塩水300gを混ぜた』
という文を面積で表すと次のようになります。

g4005 

『混ぜた後8%になった』
という文を図に加えると次のようになります。

g4025          

左の黒い長方形は赤い長方形より小さく
右の黒い長方形は赤い長方形より大きくなっていることが
分かると思います。

この小さい部分と大きい部分に着目します。

g4051*小さい部分を黄色く、大きい部分を青くしました。


二つの黒い長方形を混ぜると
赤い長方形になるということなので
黄色い長方形の面積と青い長方形の面積は
等しくなります。

青い長方形の面積は
 2(%)×300(g)=600   ←2%を0.02として計算しても答えは変わらない

これより黄色い長方形の面積も600なので
黄色い長方形の縦の長さは
 600÷200(g)=3(%)

よって求める濃度は
 8(%)-3(%)=5%
となります。

今回は説明のため図を3つに分けていますが
実際に解くときには
最後の図1つだけを使います。

面積図【プロローグ】

面積図とは
『文章問題を長方形の面積の求め方を利用して解く』という
算数的手法のことです。

掛け算であらわすことのできる式は
面積図を利用して解くことができます。

【例】
濃度の問題を例にとり面積図を説明します。

食塩水の公式を面積図で表すと
次のようになります。

g3009



縦の長さが濃度を表し、横の長さが食塩水の量を表しています。
縦×横=面積なので
濃度×食塩水の量=食塩の量
になることを表しています。

例えば
 5%の食塩水200gに含まれる食塩水の量は?

という問題を面積図で解くと
次のようになります。

text2993

面積図は
文章が長くて複雑な問題を
視覚的に理解できるという利点があります。


面積図は、いわゆる受験テクニックなので
公立の学校で教わることはありません。

数学では方程式を使うので、
知らなくても全く問題はありません。

相当算【残金②】

【問】
参考書を買いに本屋に出かけました。
持っていたお金の 1/3で参考書を買いました。
残ったお金の3/4でお菓子を買ったところ
200円残りました。
初めにいくら持っていたでしょう。

【解】
1/3を使ったということは
残りは2/3ということ。

さらに、この残ったお金の3/4を使ったということは
1/4残ったということ。  

最終的の残った200円は
初めに持っていたお金の2/3の1/4の金額ということ。
これをまとめると
 2/3×1/4=1/6

つまり、始めに持っていたお金の
1/6が200円ということが分かる。

よって、始めに持っていたお金は
 200÷1/6=1200円 

残ったものをさらに使うという問題も
多く出題されます。
こうした問題では
掛け算で残金の割合を求めます。
 

相当算【残金①】

【問】
参考書を買いに本屋に出かけました。
持っていたお金の 1/3で参考書を買ったところ
400円残りました。
初めにいくら持っていたでしょう。

【解】
1/3を使ったということは
残りは2/3ということ。    ←全体の量を1とすると、1-1/3=2/3

つまり全体の2/3が400円なので
初めに持っていたお金は
 
 400÷2/3=1200円

分数での計算が苦手という場合は
全体の量を3として考えると   ←1/3使ったということなので、分母の3を全体の量とする。
整数で計算することができます。  

この場合だと
残金の割合は2になるので
 400÷2×3=1200(円)
となる。 

相当算【基本】

相当算とは、
割合から実際の数量を求める問題です。

【問】
ある商品に2割の利益を見込んで定価をつけると
1500円になりました。
このとき、商品の仕入れ値はいくらですか。

【解】
2割の利益を見込んだということは
1.2倍したということ。     ←2割=0.2。 利益を見込むので、1+0.2となる。詳しくは割合の記事を参照。

つまり、仕入れ値の1.2倍が1500円なので
仕入れ値は
 1500÷1.2=1250(円)

相当算は結局、割合の応用問題ということです。 

旅人算【出会い】

出会いの旅人算の基本問題演習です。

【問】
①兄は自転車にのり時速15kmで3km離れた駅まで弟を迎えに行きます。
 弟は分速50mで家に向かって歩いています。
 2人が出会うのは出発して何分後ですか。

②A君は分速85mで南に向かって歩き
 B君は分速65mで5.4km離れた場所から北に向から歩いています。
 2人がすれ違うのは何分後何秒後ですか。

【解】

この問題は兄と弟の速さの単位が違うので
単位をそろえることから始めます。

何分後かと聞かれているので
時速を分速に直して計算します。

時速15km=分速250m  ←15×1000÷60

速さの単位に道のりの単位もそろえる。
3km=3000m

これより2人が出会う時間は
 3000÷(250+50)=10(分後)


「すれ違う」と「出会う」は、同じことです。

 5.4km=5400m 

よってすれ違う時間は
 5400÷(85+65)=104/3(分後)

問題は何分何秒後かと聞かれているので
 104/3=34と2/3(分)
 2/3(分)=40秒 ←2/3×60=40

よってすれ違う時間は
 34分40秒後

問題文が「何分何秒」や「何時間何分」というな場合
答えが分数になるということです。
  

ニュートン算【牧草】

【問】
ある牧場に6頭の牛を放すと、8日で草を食べつくします。
9頭の牛を放すと4日で草を食べつくしました。
このとき11頭の牛を放すと、何日間で食べつくしますか。
牛が食べる草の量と、草の生える割合は
毎日一定です。

【解】 
ニュートン算では
 ①はじめにたまっている量 
 ②一定の割合で増える量      
この2点を整理することが解法の突破口となります。

牛一頭が1日に1食べるとすると    
 1×6×8=48   ←8日で食べる草の量
 1×9×4=36   ←4日で食べる草の量

8日で食べた草の量と4日で食べた草の量の差と、
8日で生えた草の量と4日で生えた草の量の差は等しいので、  
1日に生える草の量は、
食べた草の量の差を日数の差で割って求める。          
 (48-36)÷(8-4)=3   ←1日に生える草の量                          
                                 
もともと生えていた草の量は                 
8日間で牛が食べた量と生えた草の量の差なので
 48-3×8=24

これを11頭で食べると
 24÷(11-3)=3   ←11頭が食べる草の量-生える草の量=1日に減る草の量

3日間で食べつくすことが分かります。

 *言葉だけだとイメージがつかみにくいので、
 線分図で整理すると視覚的に捉えられます。
 線分図での考え方は【牧草-線分図の利用-】をご参照ください。

ニュートン算【行列】

【問】
コンサートの開演前にすでに100人並んでいて
毎分10人ずつ並んでいきます。 
入口を1つ開けると、5分で全員が入りました。
入口を2つにすると、 全員が入るのに何分かかりますか。

【解】
まずは1つの入口を1分間に何人通るかを求めます。

5分で全員入ったということは
5分間は10人ずつ並んでいたということなので
 10×5=50(人)
 増えたことになります。

つまり
 100+50=150(人)
が5分で入場したと考えます。

よって、1つの入り口から1分間で通る人数は
 150÷5=30(人)

入口を2つにすると、1分間に入る人数は
 30×2=60(人)

ただ、10人ずつ増えるので
 60-10=50(人)

 これより、入り口を2つにすると
 100÷50=2(分)